【力扣】509. 斐波那契数

题目链接：https://s.heyiqi.cc/w7l

题目描述

斐波那契数，通常用F(n)表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给你n，请计算F(n)。

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

0 <= n <= 30

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方法一：递归

暴力递归

由题目得知F(n)是由F(n-1)和F(n-2)构成，而F(0)=0，F(1)=1，因此终止条件为n<2，返回0或1（与n的值一致）。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n < 2) return n;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
};

时间复杂度：O(2^n)

空间复杂度：O(1)

带备忘录的递归

设置一个全局变量memo，保存已经计算过的子问题答案，碰到相同的问题时直接返回，也就是所谓的“剪枝”。

unordered_map是C++中的哈希表
count方法返回表中有多少个key，由于哈希表不能重复，因此只会返回0或1
访问memo[key]不存在时会自动创建

class Solution {
    unordered_map<int,int> memo;
public:
    int fib(int n) {
        if(memo.count(n)) return memo[n];
        if(n < 2) return n;
        memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
        return memo[n];
    }
};

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(1)

方法二：动态规划

DP数组

创建一个dp数组，dp[0]=0，dp[1]=1，dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]，dp[n]即答案。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n < 2) return n; 
        int dp[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)

滚动数组

	0	1	2	3	4	5	6	7	…
val	0	1	1	2	3	5	8	13	…

在计算DP数组的时候，可以发现第n项只与n-1项和n-2项有关，因此我们无需保存n-3及之前的项，将空间复杂度优化到O(1)。

first为第1项，second为第2项，计算第3项时，t=first+second，然后first改为第2项的值，second改为第3项的值。second始终是最后一项，即要求的答案。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n < 2) return n;
        int first = 0;
        int second = 1;
        for(int i=1;i<n;i++){
            int t = first + second;
            first = second;
            second = t;
        }
        return second;
    }
};

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(1)